微分中值定理与线性化

微积分学习笔记 - 06 微分中值定理与线性化

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十、微分中值定理

微分中的中值定理主要有以下三个。

10.1   罗尔定理

罗尔定理 对于函数 $f(x)$，若满足以下条件：

1. 在 $[a,b]$ 内连续；
2. 在 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$。

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f’(\xi)=0$。

10.2   拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 对于函数 $f(x)$，若满足以下条件：

1. 在 $[a,b]$ 内连续；
2. 在 $(a,b)$ 内可导。

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得

$$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

10.3   柯西中值定理

柯西中值定理 对于函数 $f(x)$ 和函数 $F(x)$，若均满足以下条件：

1. 在 $[a,b]$ 内连续；
2. 在 $(a,b)$ 内可导；
3. $\forall x\in (a,b),F’(x)\not=0$。

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得

$$\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$$

十一、线性化与牛顿迭代法

11.1   线性化

对于函数 $f(x)$，取定义域内一点 $a$，定义

$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

为 $f$ 在 $x=a$ 处的线性化。它的意义是

$$f(x)\approx L(x)$$

可以用这个式子借助相邻点 $a$ 的函数值估算 $x$ 处的函数值。

线性化是泰勒展开在多项式次数等于 $1$ 时的特殊形式，一般可以达到粗略估算效果。

11.2   牛顿迭代法

发现对函数的某个位置仅使用一次线性化可能产生的误差相对较大，此时可以考虑多次迭代使用线性化。

牛顿迭代法用于利用线性化估算函数零点。

假设 $a$ 是对方程 $f(x)=0$ 的解的一个近似，令

$$b=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)}$$

则在大多情况下，$b$ 是一个比 $a$ 更好的近似。

这个式子本质上实在 $x=a$ 的位置做了第二次线性化，得到 $b$。

但牛顿法不一定广泛使用，可能出现以下情况：

• 若 $f’(a)$ 接近于 $0$，那么估算出的 $b$ 将可能比 $a$ 更劣；
• 若 $f(x)=0$ 不止有一个解，那么可能得到的不是所需解；
• 近似情况可能陷入循环或变得更加糟糕。

一般情况下，可以随机在定义域内多次取点开始第一次线性化，划定迭代次数上限等限制可以辅助此方法。