微积分学习笔记 - 06 微分中值定理与线性化

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十、微分中值定理

微分中的中值定理主要有以下三个。

10.1 罗尔定理

罗尔定理 对于函数 \(f(x)\)，若满足以下条件：

在 \([a,b]\) 内连续；
在 \((a,b)\) 内可导；
\(f(a)=f(b)\)。

则在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。

10.2 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 对于函数 \(f(x)\)，若满足以下条件：

在 \([a,b]\) 内连续；
在 \((a,b)\) 内可导。

则在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得 \[ f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 无标题.png

10.3 柯西中值定理

柯西中值定理 对于函数 \(f(x)\) 和函数 \(F(x)\)，若均满足以下条件：

在 \([a,b]\) 内连续；
在 \((a,b)\) 内可导；
\(\forall x\in (a,b),F'(x)\not=0\)。

则在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得 \[ \dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \]

十一、线性化与牛顿迭代法

11.1 线性化

对于函数 \(f(x)\)，取定义域内一点 \(a\)，定义 \[ L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \] 为 \(f\) 在 \(x=a\) 处的线性化。它的意义是 \[ f(x)\approx L(x) \] 可以用这个式子借助相邻点 \(a\) 的函数值估算 \(x\) 处的函数值。

线性化是泰勒展开在多项式次数等于 \(1\) 时的特殊形式，一般可以达到粗略估算效果。