微积分学习笔记 - 07 洛必达法则及其应用

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十二、洛必达法则

当函数极限呈现以下形式时，称为不定型极限：

$\frac{0}{0}$ 型：$\lim\limits_{x \to a} f(x)=0$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x)=0$
$\frac{\infty}{\infty}$ 型：$\lim\limits_{x \to a} f(x)=\infty$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x)=\infty$
其他形式：$0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ 等（需转化为前两种形式处理）

12.1 洛必达法则

洛必达法则 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

在 $x=a$ 的某去心邻域内可导（$a$ 可为有限数或 $\pm\infty$）；
$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ 均为 $0$ 或 $\infty$；
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$ 存在。

则：

$\boxed{ \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} }$

几何直观：导数反映了函数的局部变化率，洛必达法则通过比较分子分母的相对增长率来简化极限计算。

12.2 洛必达法则的应用

步骤总结：

验证不定型：确认极限为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$；
求导分子分母：分别对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 求导；
计算新极限：若结果确定或为 $\infty$，则原极限与之相等；
重复应用：若结果仍为不定型，可多次使用洛必达法则。

12.2.1 $\frac{0}{0}$ 型极限

例求 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

解
$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}&=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x-1}{2x} \\ &= \lim \limits_{x\to 0}\dfrac{e^x}{2} \\ &=\dfrac 1 2 \end{aligned}$

12.2.2 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限

例求 $\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln x}{x}$。

解
$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\ln x}{x}&=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\frac 1 x}{1}=0 \end{aligned}$

12.2.3 $0\cdot \infty$ 型极限

方法：改写为 $\dfrac{0}{1/\infty}$。

例求 $\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x$。

解
$\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x=\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim\limits_{x \to 0^+} (-x) = 0$

12.2.4 $\infty - \infty$ 型极限

方法：通分或提取公因式。

例求 $\lim\limits_{x\to 0}(\dfrac 1 {\sin{x}}-\dfrac 1 x)$。

解
$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}(\dfrac 1 {\sin{x}}-\dfrac 1 x)&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x\sin x} \\ &= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x} \\ &= \lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\cos x-\sin x+\cos x} \\ &= 0 \end{aligned}$

12.2.5 $1^ \infty$ 型极限

方法：取对数转化为 $0 \cdot \infty$。

例求 $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$。

解令 $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，取对数得 $\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$。
$\begin{aligned} \lim \limits_{x\to \infty} x\ln(1+\dfrac 1 x)&= \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\ln(1+1/x)}{1/x} \\ &=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\dfrac{-1/x^2}{1 + 1/x}}{-1/x^2} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 1/x} \\ &= 1 \end{aligned}$
所以 $\lim\limits_{x\to \infty} y=e^1=e$。