微积分学习笔记 - 02 三角函数的极限和导数

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三、三角函数的极限

本节简短记录几个比较重要的三角函数极限，对后文推出三角函数的导数有重要作用。

3.1 正弦函数的极限

首先考虑一个重要极限

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$

这个极限的求解将借助单位圆完成。

三角形 OAC、扇形 OAB、三角形 ODB 的面积分别等于 $\dfrac{\sin(x)}{2}$，$\dfrac x 2$，$\dfrac{\tan(x)} 2$，有不等关系

$\sin(x)<x<\tan(x)$

对于 $x>0$ 的情况进一步转化可得

$\cos(x)<\dfrac{\sin(x)}x<1$

使用三明治定理，在 $x=0$ 的位置，$\cos(x)=1$，所以得到右极限

$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$

由于上述函数是奇函数，不难得到双侧极限

$\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$

求解正弦函数的极限，通常利用正弦函数的值域特征 $-1\le \sin(x)\le 1$ 简化问题。

3.2 余弦函数的极限

显然，我们有极限

$\lim \limits_{x\to 0}\cos(x)=1$

接下来考虑极限

$\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}$

尝试让分子出现 $1-\cos^2(x)$，从而出现 $\sin^2(x)$，借助正弦函数极限求解。

$\begin{aligned} \lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}\times \dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)} \\ &=\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos^2(x)}{x(1+\cos(x))}\\ &=\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^2(x)}{x}\times \dfrac{1}{1+\cos(x)}\\ &=\lim \limits_{x\to 0}\sin(x)\times \dfrac{\sin(x)}{x}\times \dfrac{1}{1+\cos(x)}\\ &=0\times 1\times \dfrac{1}{1+1}\\ &=0 \end{aligned}$

所以得到重要结论

$\boxed{\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}=0}$

考虑另一个极限

$\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}$

借助上面的思路，不难得到

$\begin{aligned} \lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}&=\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}\times \dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}\\ &=\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos^2(x)}{x^2}\times \dfrac{1}{1+cos(x)}\\ &=\lim \limits_{x\to 0}(\dfrac{\sin(x)}{x})^2\times \dfrac{1}{1+\cos(x)}\\ &=1^2\times \dfrac{1}{1+1}\\ &=\dfrac12 \end{aligned}$

3.3 正切函数的极限

考虑极限

$\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}$

作变换 $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ 可得

$\begin{aligned} \lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}&=\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}}{x}\\ &=\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{sin(x)}{x}\times \dfrac1{cos(x)}\\ &=1\times \dfrac11\\ &=1 \end{aligned}$

这也就证明了

$\boxed{\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}=1}$

四、三角函数的导数

借助第三节的推论，可以推出六种三角函数的导数。本节将对它们分别推出与证明。

下面是六种三角函数的导数对照表：

$\begin{array}{|c|c|} f(x)=&f'(x)=\\ \sin(x)&\cos(x)\\ \cos(x)&-\sin(x)\\ \tan(x)&\sec^2(x)\\ \cot(x)&-\csc^2(x)\\ \sec(x)&\sec(x)\tan(x)\\ \csc(x)&-\csc(x)\cot(x) \end{array}$

4.1 正弦函数的导数

借助第三节中的两个极限

$\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h}=1\quad,\quad \lim \limits_{h\to 0}\dfrac{1-\cos(h)}{h}=0$

直接使用导数定义与和角公式，令 $f(x)=\sin(x)$，推出：

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(h)}{h}\\ &=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}h\\ &=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}h\\ &=\lim \limits_{h\to 0}(\sin(x)\times \dfrac{\cos(h)-1}h+\cos(x)\times \dfrac{\sin(h)}h)\\ &=\sin(x)\times 0+\cos(x)\times 1\\ &=\cos(x) \end{aligned}$

得出其导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x)=\cos(x)}$

4.2 余弦函数的导数

令 $f(x)=\cos(x)$，借助和角公式可得得到：

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}h\\ &=\lim \limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}h\\ &=\lim \limits_{h\to 0}\cos(x)\times \dfrac{\cos(h)-1}h-\sin(x)\times \dfrac{\sin(h)}h\\ &=\cos(x)\times 0-\sin(x)\times 1\\ &=-\sin(x) \end{aligned}$

得出其导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos(x)=-\sin(x)}$

4.3 正切函数的导数

令 $y=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$，再令 $u=\sin(x),v=\cos(x)$，使用商法则得到：

$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{v\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2}=\dfrac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}\\ &=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\\ &=\sec^2(x) \end{aligned}$

得出其导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan(x)=\sec^2(x)}$

4.4 余切函数的导数

令 $y=\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$，再令 $u=\cos(x),v=\sin(x)$，使用商法则得到：

$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{v\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2}=\dfrac{\sin(x)(-\sin(x))-\cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}\\ &=\dfrac{-1}{\sin^2(x)}\\ &=-\csc^2(x) \end{aligned}$

得到其导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot(x)=\csc^2(x)}$

4.5 正割函数的导数

令 $y=\sec(x)=\dfrac1{\cos(x)}$，再令 $u=\cos(x)$，则 $y=\dfrac1{u}$，使用链式求导法则得到：

$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\dfrac1{\cos^2(x)}(-\sin(x))\\ &=\dfrac1{\cos(x)}\times\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ &=\sec(x)\tan(x) \end{aligned}$

得出其导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)}$

4.6 余割函数的导数

令 $y=\csc(x)=\dfrac1{\sin(x)}$，再令 $u=\sin(x)$，则 $y=\dfrac1{u}$，使用链式求导法则得到：

$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\dfrac1{\sin^2(x)}\cos(x)\\ &=-\dfrac1{\sin(x)}\times\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\\ &=-\csc(x)\cot(x) \end{aligned}$

得出其导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)}$