三角函数的极限和导数

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微积分学习笔记 - 02 三角函数的极限和导数

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三、三角函数的极限

本节简短记录几个比较重要的三角函数极限，对后文推出三角函数的导数有重要作用。

3.1   正弦函数的极限

首先考虑一个重要极限

$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$$

这个极限的求解将借助单位圆完成。

三角形 OAC、扇形 OAB、三角形 ODB 的面积分别等于 ${\displaystyle \frac{\sin (x)}{2}}$，${\displaystyle \frac{x}{2}}$，${\displaystyle \frac{\tan (x)}{2}}$，有不等关系

$$\sin (x)<x<\tan (x)$$

对于 $x>0$ 的情况进一步转化可得

$$\cos (x)<{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}<1$$

使用三明治定理，在 $x=0$ 的位置，$\cos (x)=1$，所以得到右极限

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}=1$$

由于上述函数是奇函数，不难得到双侧极限

$$\boxed{{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}=1}}$$

求解正弦函数的极限，通常利用正弦函数的值域特征 $-1\le \sin (x)\le 1$ 简化问题。

3.2   余弦函数的极限

显然，我们有极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\cos (x)=1$$

接下来考虑极限

$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x}}$$

尝试让分子出现 $1-{\cos }^2(x)$，从而出现 ${\sin }^2(x)$，借助正弦函数极限求解。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x}}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x}}\times {\displaystyle \frac{1+\cos (x)}{1+\cos (x)}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-{\cos }^2(x)}{x(1+\cos (x))}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\sin }^2(x)}{x}}\times {\displaystyle \frac{1}{1+\cos (x)}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\sin (x)\times {\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}\times {\displaystyle \frac{1}{1+\cos (x)}}\\ & =0\times 1\times {\displaystyle \frac{1}{1+1}}\\ & =0\end{array}$$

所以得到重要结论

$$\boxed{{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x}}=0}}$$

考虑另一个极限

$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x^2}}$$

借助上面的思路，不难得到

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x^2}}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x^2}}\times {\displaystyle \frac{1+\cos (x)}{1+\cos (x)}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-{\cos }^2(x)}{x^2}}\times {\displaystyle \frac{1}{1+cos(x)}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}({\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}{)}^2\times {\displaystyle \frac{1}{1+\cos (x)}}\\ & =1^2\times {\displaystyle \frac{1}{1+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

3.3   正切函数的极限

考虑极限

$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan (x)}{x}}$$

作变换 $\tan (x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ 可得

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan (x)}{x}}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{x}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{sin(x)}{x}}\times {\displaystyle \frac{1}{cos(x)}}\\ & =1\times {\displaystyle \frac{1}{1}}\\ & =1\end{array}$$

这也就证明了

$$\boxed{{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan (x)}{x}}=1}}$$

四、三角函数的导数

借助第三节的推论，可以推出六种三角函数的导数。本节将对它们分别推出与证明。

下面是六种三角函数的导数对照表：

$$\overline{)\begin{array}{cc}f(x)=& f^{\prime }(x)=\\ \sin (x)& \cos (x)\\ \cos (x)& -\sin (x)\\ \tan (x)& {\sec }^2(x)\\ \cot (x)& -{\csc }^2(x)\\ \sec (x)& \sec (x)\tan (x)\\ \csc (x)& -\csc (x)\cot (x)\end{array}}$$

4.1   正弦函数的导数

借助第三节中的两个极限

$$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (h)}{h}}=1,\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos (h)}{h}}=0$$

直接使用导数定义与和角公式，令 $f(x)=\sin (x)$，推出：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x+h)-\sin (h)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x)\cos (h)+\cos (x)\sin (h)-\sin (x)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin (x)(\cos (h)-1)+\cos (x)\sin (h)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}(\sin (x)\times {\displaystyle \frac{\cos (h)-1}{h}}+\cos (x)\times {\displaystyle \frac{\sin (h)}{h}})\\ & =\sin (x)\times 0+\cos (x)\times 1\\ & =\cos (x)\end{array}$$

得出其导数为

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\sin (x)=\cos (x)}}$$

4.2   余弦函数的导数

令 $f(x)=\cos (x)$，借助和角公式可得得到：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\cos (x)\cos (h)-\sin (x)\sin (h)-\cos (x)}{h}}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\cos (x)\times {\displaystyle \frac{\cos (h)-1}{h}}-\sin (x)\times {\displaystyle \frac{\sin (h)}{h}}\\ & =\cos (x)\times 0-\sin (x)\times 1\\ & =-\sin (x)\end{array}$$

得出其导数为

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\cos (x)=-\sin (x)}}$$

4.3   正切函数的导数

令 $y=\tan (x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$，再令 $u=\sin (x),v=\cos (x)$，使用商法则得到：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}& ={\displaystyle \frac{v{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}-u{\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}}{v^2}}={\displaystyle \frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(x)}}\\ & ={\sec }^2(x)\end{array}$$

得出其导数为

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\tan (x)={\sec }^2(x)}}$$

4.4   余切函数的导数

令 $y=\cot (x)={\displaystyle \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$，再令 $u=\cos (x),v=\sin (x)$，使用商法则得到：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}& ={\displaystyle \frac{v{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}-u{\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}}{v^2}}={\displaystyle \frac{\sin (x)(-\sin (x))-\cos (x)\cos (x)}{{\sin }^2(x)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-1}{{\sin }^2(x)}}\\ & =-{\csc }^2(x)\end{array}$$

得到其导数为

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\cot (x)={\csc }^2(x)}}$$

4.5   正割函数的导数

令 $y=\sec (x)={\displaystyle \frac{1}{\cos (x)}}$，再令 $u=\cos (x)$，则 $y={\displaystyle \frac{1}{u}}$，使用链式求导法则得到：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}& ={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}=-{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(x)}}(-\sin (x))\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\cos (x)}}\times {\displaystyle \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}\\ & =\sec (x)\tan (x)\end{array}$$

得出其导数为

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\sec (x)=\sec (x)\tan (x)}}$$

4.6   余割函数的导数

令 $y=\csc (x)={\displaystyle \frac{1}{\sin (x)}}$，再令 $u=\sin (x)$，则 $y={\displaystyle \frac{1}{u}}$，使用链式求导法则得到：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}& ={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}=-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2(x)}}\cos (x)\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\sin (x)}}\times {\displaystyle \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}\\ & =-\csc (x)\cot (x)\end{array}$$

得出其导数为

$$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\csc (x)=-\csc (x)\cot (x)}}$$