微积分学习笔记 - 03 隐函数求导

进入传送门，阅读刊载在专栏《微积分阅读笔记》下的全部文章。

五、隐函数求导

这一节与其他节相关很少，但后面也要经常用到，所以只好单拎出来。

5.1 隐函数求导

考虑两个导数 \[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2) \quad,\quad \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2) \] 前者显然为 \(2x\)，但后者却不一定。这主要取决于变量 \(y\) 与变量 \(x\) 间的变化关系。

那怎样求它的导数呢？参考链式求导法则，变量 \(x\) 的改变会导致变量 \(y\) 的改变，而变量 \(y\) 的改变又会导致 \(y^2\) 的改变。

令 \(u=y^2\)，则 \(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=2y\)，则： \[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2)=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \] 这就求出了它的导数。显然，若 \(x\) 与 \(y\) 毫不相干的时候，导数就为 \(0\)。

例子对于圆的方程 \(x^2+y^2=4\)，求圆上各点的切线的斜率。

对于这个例子，因为 \(y\) 并不是 \(x\) 的函数，并不能直接求导，可以通过在等式两边同时加上 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 对隐函数求导，即： \[ \begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+y^2)&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}4\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2)&=0\\ 2x+2y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0\\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\dfrac xy \end{aligned} \] 只需要对圆上的每个点 \((x,y)\) 对应求导即可。

对于求隐函数导数的问题，通常采用以下方法：

对原方程进行简化；
对等式两边同时对一个变量求导，即同时乘上 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\)，并化简；
若需求出曲线上某点的切线方程，则需代入对应 \(x,y\) 求解。

5.2 隐函数求二阶导

隐函数求二阶导的方法和普通函数类似——在一阶导的基础上求导。

例子求函数 \(2y+\sin(y)=\dfrac{x^2}\pi +1\) 的二阶导 \(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)。

对隐函数先求一阶导，有：

\[ 2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\cos(y)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{2x}\pi\tag{1} \] 在 \((1)\) 上进而对其求二阶导： \[ \begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(y)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\dfrac{2x}\pi)\\ 2\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-\sin(y)(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2+\cos(y)\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}&=\dfrac2\pi\\ \end{aligned} \] 化简得到 \[ 2\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2+\dfrac2\pi \] 下面解决 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 的求解，根据 \((1)\) 得： \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{2x}{\pi(2+\cos(y))} \] 代入得 \[ \begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}&=\dfrac{(\dfrac{2x}{\pi(2+\cos(y))})^2+\dfrac2\pi}{2}\\ &=\dfrac{2x^2}{\pi^2(2+\cos(y))^2}+\frac1\pi \end{aligned} \]