微积分学习笔记 - 03 隐函数求导

进入 传送门，阅读刊载在专栏《微积分阅读笔记》下的全部文章。

五、隐函数求导

这一节与其他节相关很少，但后面也要经常用到，所以只好单拎出来。

5.1   隐函数求导

考虑两个导数

前者显然为 $2x$，但后者却不一定。这主要取决于变量 $y$ 与变量 $x$ 间的变化关系。

那怎样求它的导数呢？参考链式求导法则，变量 $x$ 的改变会导致变量 $y$ 的改变，而变量 $y$ 的改变又会导致 $y^2$ 的改变。

令 $u=y^2$，则 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=2y$，则：

这就求出了它的导数。显然，若 $x$ 与 $y$ 毫不相干的时候，导数就为 $0$。

例子   对于圆的方程 $x^2+y^2=4$，求圆上各点的切线的斜率。

对于这个例子，因为 $y$ 并不是 $x$ 的函数，并不能直接求导，可以通过在等式两边同时加上 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 对隐函数求导，即：

只需要对圆上的每个点 $(x,y)$ 对应求导即可。

对于求隐函数导数的问题，通常采用以下方法：

  • 对原方程进行简化；
  • 对等式两边同时对一个变量求导，即同时乘上 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$，并化简；
  • 若需求出曲线上某点的切线方程，则需代入对应 $x,y$ 求解。

5.2   隐函数求二阶导

隐函数求二阶导的方法和普通函数类似——在一阶导的基础上求导。

例子   求函数 $2y+\sin(y)=\dfrac{x^2}\pi +1$ 的二阶导 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$。

对隐函数先求一阶导，有：

在 $(1)$ 上进而对其求二阶导：

化简得到

下面解决 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的求解，根据 $(1)$ 得：

代入得