微积分学习笔记 - 01 极限导论与微分

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一、极限导论

1.1 极限的定义

极限：对于函数 \(f(x)\)，任选 \(\epsilon>0\)，可以任选 \(\delta>0\)，使得：对于所有满足 \(0<|x-a|<\delta\) 的 \(x\)，有 \(|f(x)-L|<\epsilon\)，则称函数 \(f(x)\) 在 \(a\) 处的极限为 \(L\)，记作： \[ \lim\limits_{x\rightarrow a}=L \] 上述定义可以简单理解成，在变量 \(x\) 接近于 \(a\) 时，函数值无限接近于 \(L\)。

例如，对于函数 \(f(x)=x+1\)，通过分析函数图像可知，有 \(\lim\limits_{x\rightarrow 2}=3\)。

再例如，对于函数 \(g(x)=\begin{cases}x-1&\text{如果}x\not=2\\3&\text{如果}x=2\end{cases}\)，事实上 \(\lim\limits_{x\rightarrow 2}=1\)。这是因为只有那些在 \(x\) 接近于 \(2\) 时的 \(g(x)\) 的值，才是它的极限。

左极限：与极限的定义类似地，只考虑 \(x<a\) 的部分，函数在这部分中，自变量接近于 \(a\) 的时候，函数值的接近值，记作： \[ \lim\limits_{x\rightarrow a^{-}} = L \] 右极限：只考虑 \(x>a\) 的部分，函数在这部分中，之变量接近于 \(a\) 的时候，函数值的接近值，记作： \[ \lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}=L \] 例如，函数 \(f(x)=x^{-1}\) ，在 \(0\) 附近的极限为：\(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}=-\infty,\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}=\infty\)。发现 \(0\) 附近的左极限和右极限不相等，所以 \(f(x)\) 在 \(0\) 附近的极限不存在。

通过总结发现，极限存在当且仅当此处的左极限和右极限存在且相等。也就是说， \[ \lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}=L \] 等价于 \[ \lim\limits_{x\rightarrow a}=L \] 相反的，极限不存在，记作 \[ \lim\limits_{x\rightarrow a}\text{DNE} \]

1.2 三明治定理(夹逼定理)

如果对于所有在 \(a\) 附近的 \(x\) 都有 \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)，且 \(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L\)，则 \[ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L \]

1.3 求解 \(x\rightarrow a\) 时多项式的极限问题

例题1：求解极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-3x+2}{x-2} \] 因为函数定义域包含 \(-1\)，可以将 \(x=-1\) 带入表达式中，得到这个极限为 \(-2\)。

例题2：求解极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2} \] 我们发现直接将 \(x=2\) 带入，分母为 \(0\)，不能这样求解。考虑对其因式分解，有 \[ \lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-1)=1 \] 例题3：求解极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3} \] 我们不能直接带入 \(x=1\)，尝试进行符号分析。其关键因子是 \((x-1)^3\)，当 \(x\rightarrow 1^+\) 时，其为正，并代入整个式子分析符号，有\(\frac{(-)}{(+)(+)}=(-)\)；当 \(x\rightarrow 1^-\) 时，其为负，分析式子的符号，有\(\frac{(-)}{(+)(-)}=(+)\)。因此，这个极限不存在，但是存在左极限和右极限： \[ \lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=-\infty \qquad \lim\limits_{x\rightarrow 1+}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=\infty \] 例题4：求解极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5} \] 不能直接带入 \(x=5\)，考虑进行分子有理化，即分子分母共同乘上 \(\sqrt{x^2-9}-4\) 的共轭表达式，有 \[ \begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}&=\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}\times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{x^2-25}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{x+5}{\sqrt{x^2-9}+4}\\ &=\frac{5}{4} \end{aligned} \]

1.4 求解 \(x\rightarrow \infty\) 时多项式的极限问题

对于一个有理函数的极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{q(x)} \] 令 \(p_L(x)\) 为函数 \(p(x)\) 的最高次项，我们有 \[ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{p_L(x)}=1 \] 事实上，对于任意的 \(n>0\)，\(C\) 为常数，有 \[ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{C}{x^n}=0 \] 例题5：求解极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+2000x^2-6} \] 我们找到分子的首项 \(-8x^4\)，分母的首项 \(7x^4\)，有 \[ \begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+2000x^2-6}&=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\dfrac{x-8x^4}{-8x^4}\times (-8x^4)}{\dfrac{7x^4+5x^3+2000x^2-6}{7x^4}\times 7x^4}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{-\dfrac{1}{8x^3}+1}{1+\dfrac{5}{7x}+\dfrac{2000}{7x^2}-\dfrac{6}{7x^4}}\times \dfrac{-8x^4}{7x^4}\\ &=\frac{0+1}{1+0+0-0}\times \frac{-8}{7}\\ &=-\frac{8}{7} \end{aligned} \] 一般地，考虑极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{q(x)} \] 其中 \(p,q\) 为多项式，我们有：

如果 \(p\) 的次数等于 \(q\) 的次数，则极限是有限的且非零；
如果 \(p\) 的次数大于 \(q\) 的次数，则极限是 \(\infty\) 或 \(-\infty\)；
如果 \(p\) 的次数等于 \(q\) 的次数，则极限是 \(0\)。

1.5 求解 \(x\rightarrow -\infty\) 时多项式的极限问题

求解 \(x\rightarrow -\infty\) 时的极限，答题思路和上面相仿，特殊地，需要考虑被开方数的正负性。

例题6：求解极限 \[ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1} \] 可以找到分母的首项 \(2x^3\)，分子的首项 \(\sqrt{4x^6}\)，特别注意 \(x<0\) 时，\(\sqrt{4x^6}=-2x^3\)。有 \[ \begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1}&=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\dfrac{\sqrt{4x^6+8}}{\sqrt{4x^6}}\times \sqrt{4x^6}}{\dfrac{2x^3+6x+1}{2x^3}\times 2x^3}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{\dfrac{4x^6+8}{4x^6}}}{\dfrac{2x^3+6x+1}{2x^3}}\times \frac{\sqrt{4x^6}}{2x^3}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{1+\dfrac{8}{4x^6}}}{1+\dfrac{6x}{2x^3}+\dfrac{1}{2x^3}}\times \frac{-2x^3}{2x^3}\\ &=\frac{\sqrt{1+0}}{1+0+0}\times (-1)\\ &=-1 \end{aligned} \]

二、求解微分问题

2.1 幂函数的导数

事实上，当 \(a\) 是任意实数时， \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^a)=ax^{a-1} \] 特殊地，如果 \(C\) 是常数，那么 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(C)=0\)。

如果 \(a=1\)，有 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)=1\)。

例子 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^\frac{1}{3})=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\)。

2.2 求导法则

下面内容默认 \(f'(x)\) 为函数 \(f(x)\) 的导数，\(a\) 为任意实数。

2.2.1 函数的常数倍

若 \(k\) 为任意实数，\(f(x)=kx^a\)，其导数为 \[ f'(x)=kax^{a-1} \]

2.2.2 函数的和与差

若 \(f(x)=g(x)\pm h(x)\)，其导数为 \[ f'(x)=g'(x)\pm h'(x) \]

2.2.3 乘积法则

乘积法则 若 \(h(x)=f(x)g(x)\)，则其导数为 \[ h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \] 用微分的形式表示，若 \(y=uv\)，则 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \] 乘积法则可推广。若 \(y=uvw\)，则 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}vw+u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}w+uv\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} \]

2.2.4 商法则

商法则 若函数 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)，则其导数为 \[ h'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \] 用微分的形式表示，若 \(y=\dfrac uv\)，则 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{v\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} \]

2.2.5 链式求导法则

链式求导法则 若函数 \(h(x)=f(g(x))\)，则其导数为 \[ h'(x)=f'(g(x))g'(x) \] 用微分的形式表示，若 \(y\) 是 \(u\) 的函数，\(u\) 是 \(x\) 的函数，则 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \] 链式求导法则可以推广，若 \(y\) 是 \(u\) 的函数，\(u\) 是 \(v\) 的函数，\(v\) 是 \(x\) 的函数，则 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \]