微积分学习笔记 - 01 极限导论与微分

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一、极限导论

1.1 极限的定义

极限：对于函数 $f(x)$，任选 $\epsilon>0$，可以任选 $\delta>0$，使得：对于所有满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$，有 $|f(x)-L|<\epsilon$，则称函数 $f(x)$ 在 $a$ 处的极限为 $L$，记作：

$\lim\limits_{x\rightarrow a}=L$

上述定义可以简单理解成，在变量 $x$ 接近于 $a$ 时，函数值无限接近于 $L$。

例如，对于函数 $f(x)=x+1$，通过分析函数图像可知，有 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}=3$。

再例如，对于函数 $g(x)=\begin{cases}x-1&\text{如果}x\not=2\\3&\text{如果}x=2\end{cases}$，事实上 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}=1$。这是因为只有那些在 $x$ 接近于 $2$ 时的 $g(x)$ 的值，才是它的极限。

左极限：与极限的定义类似地，只考虑 $x<a$ 的部分，函数在这部分中，自变量接近于 $a$ 的时候，函数值的接近值，记作：

$\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}} = L$

右极限：只考虑 $x>a$ 的部分，函数在这部分中，之变量接近于 $a$ 的时候，函数值的接近值，记作：

$\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}=L$

例如，函数 $f(x)=x^{-1}$ ，在 $0$ 附近的极限为：$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}=-\infty,\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}=\infty$。发现 $0$ 附近的左极限和右极限不相等，所以 $f(x)$ 在 $0$ 附近的极限不存在。

通过总结发现，极限存在当且仅当此处的左极限和右极限存在且相等。也就是说，

$\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}=L$

等价于

$\lim\limits_{x\rightarrow a}=L$

相反的，极限不存在，记作

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\text{DNE}$

1.2 三明治定理(夹逼定理)

如果对于所有在 $a$ 附近的 $x$ 都有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$

1.3 求解 $x\rightarrow a$ 时多项式的极限问题

例题1：求解极限

$\lim\limits_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$

因为函数定义域包含 $-1$，可以将 $x=-1$ 带入表达式中，得到这个极限为 $-2$。

例题2：求解极限

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$

我们发现直接将 $x=2$ 带入，分母为 $0$，不能这样求解。考虑对其因式分解，有

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x-1)=1$

例题3：求解极限

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}$

我们不能直接带入 $x=1$，尝试进行符号分析。其关键因子是 $(x-1)^3$，当 $x\rightarrow 1^+$ 时，其为正，并代入整个式子分析符号，有$\frac{(-)}{(+)(+)}=(-)$；当 $x\rightarrow 1^-$ 时，其为负，分析式子的符号，有$\frac{(-)}{(+)(-)}=(+)$。因此，这个极限不存在，但是存在左极限和右极限：

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=-\infty \qquad \lim\limits_{x\rightarrow 1+}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}=\infty$

例题4：求解极限

$\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}$

不能直接带入 $x=5$，考虑进行分子有理化，即分子分母共同乘上 $\sqrt{x^2-9}-4$ 的共轭表达式，有

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}&=\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}\times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{x^2-25}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 5}\frac{x+5}{\sqrt{x^2-9}+4}\\ &=\frac{5}{4} \end{aligned}$

1.4 求解 $x\rightarrow \infty$ 时多项式的极限问题

对于一个有理函数的极限

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{q(x)}$

令 $p_L(x)$ 为函数 $p(x)$ 的最高次项，我们有

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{p_L(x)}=1$

事实上，对于任意的 $n>0$，$C$ 为常数，有

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{C}{x^n}=0$

例题5：求解极限

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+2000x^2-6}$

我们找到分子的首项 $-8x^4$，分母的首项 $7x^4$，有

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x-8x^4}{7x^4+5x^3+2000x^2-6}&=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\dfrac{x-8x^4}{-8x^4}\times (-8x^4)}{\dfrac{7x^4+5x^3+2000x^2-6}{7x^4}\times 7x^4}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{-\dfrac{1}{8x^3}+1}{1+\dfrac{5}{7x}+\dfrac{2000}{7x^2}-\dfrac{6}{7x^4}}\times \dfrac{-8x^4}{7x^4}\\ &=\frac{0+1}{1+0+0-0}\times \frac{-8}{7}\\ &=-\frac{8}{7} \end{aligned}$

一般地，考虑极限

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{q(x)}$

其中 $p,q$ 为多项式，我们有：

如果 $p$ 的次数等于 $q$ 的次数，则极限是有限的且非零；
如果 $p$ 的次数大于 $q$ 的次数，则极限是 $\infty$ 或 $-\infty$；
如果 $p$ 的次数等于 $q$ 的次数，则极限是 $0$。

1.5 求解 $x\rightarrow -\infty$ 时多项式的极限问题

求解 $x\rightarrow -\infty$ 时的极限，答题思路和上面相仿，特殊地，需要考虑被开方数的正负性。

例题6：求解极限

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1}$

可以找到分母的首项 $2x^3$，分子的首项 $\sqrt{4x^6}$，特别注意 $x<0$ 时，$\sqrt{4x^6}=-2x^3$。有

$\begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{4x^6+8}}{2x^3+6x+1}&=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\dfrac{\sqrt{4x^6+8}}{\sqrt{4x^6}}\times \sqrt{4x^6}}{\dfrac{2x^3+6x+1}{2x^3}\times 2x^3}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{\dfrac{4x^6+8}{4x^6}}}{\dfrac{2x^3+6x+1}{2x^3}}\times \frac{\sqrt{4x^6}}{2x^3}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{1+\dfrac{8}{4x^6}}}{1+\dfrac{6x}{2x^3}+\dfrac{1}{2x^3}}\times \frac{-2x^3}{2x^3}\\ &=\frac{\sqrt{1+0}}{1+0+0}\times (-1)\\ &=-1 \end{aligned}$

二、求解微分问题

2.1 幂函数的导数

事实上，当 $a$ 是任意实数时，

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^a)=ax^{a-1}$

特殊地，如果 $C$ 是常数，那么 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(C)=0$。

如果 $a=1$，有 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)=1$。

例子 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^\frac{1}{3})=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$。

2.2 求导法则

下面内容默认 $f’(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导数，$a$ 为任意实数。

2.2.1 函数的常数倍

若 $k$ 为任意实数，$f(x)=kx^a$，其导数为

$f'(x)=kax^{a-1}$

2.2.2 函数的和与差

若 $f(x)=g(x)\pm h(x)$，其导数为

$f'(x)=g'(x)\pm h'(x)$

2.2.3 乘积法则

乘积法则 若 $h(x)=f(x)g(x)$，则其导数为

$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

用微分的形式表示，若 $y=uv$，则

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

乘积法则可推广。若 $y=uvw$，则

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}vw+u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}w+uv\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}$

2.2.4 商法则

商法则 若函数 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$，则其导数为

$h'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

用微分的形式表示，若 $y=\dfrac uv$，则

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{v\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2}$

2.2.5 链式求导法则

链式求导法则 若函数 $h(x)=f(g(x))$，则其导数为

$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

用微分的形式表示，若 $y$ 是 $u$ 的函数，$u$ 是 $x$ 的函数，则

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

链式求导法则可以推广，若 $y$ 是 $u$ 的函数，$u$ 是 $v$ 的函数，$v$ 是 $x$ 的函数，则

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$