极限导论与微分
微积分学习笔记 - 01 极限导论与微分
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一、极限导论
1.1 极限的定义
极限:对于函数 $f(x)$,任选 $\epsilon>0$,可以任选 $\delta>0$,使得:对于所有满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$,有 $|f(x)-L|<\epsilon$,则称函数 $f(x)$ 在 $a$ 处的极限为 $L$,记作:
上述定义可以简单理解成,在变量 $x$ 接近于 $a$ 时,函数值无限接近于 $L$。
例如,对于函数 $f(x)=x+1$,通过分析函数图像可知,有 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}=3$。
再例如,对于函数 $g(x)=\begin{cases}x-1&\text{如果}x\not=2\\3&\text{如果}x=2\end{cases}$,事实上 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}=1$。这是因为只有那些在 $x$ 接近于 $2$ 时的 $g(x)$ 的值,才是它的极限。
左极限:与极限的定义类似地,只考虑 $x<a$ 的部分,函数在这部分中,自变量接近于 $a$ 的时候,函数值的接近值,记作:
右极限:只考虑 $x>a$ 的部分,函数在这部分中,之变量接近于 $a$ 的时候,函数值的接近值,记作:
例如,函数 $f(x)=x^{-1}$ ,在 $0$ 附近的极限为:$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}=-\infty,\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}=\infty$。发现 $0$ 附近的左极限和右极限不相等,所以 $f(x)$ 在 $0$ 附近的极限不存在。
通过总结发现,极限存在当且仅当此处的左极限和右极限存在且相等。也就是说,
等价于
相反的,极限不存在,记作
1.2 三明治定理(夹逼定理)
如果对于所有在 $a$ 附近的 $x$ 都有 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$,且 $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$,则
1.3 求解 $x\rightarrow a$ 时多项式的极限问题
例题1:求解极限
因为函数定义域包含 $-1$,可以将 $x=-1$ 带入表达式中,得到这个极限为 $-2$。
例题2:求解极限
我们发现直接将 $x=2$ 带入,分母为 $0$,不能这样求解。考虑对其因式分解,有
例题3:求解极限
我们不能直接带入 $x=1$,尝试进行符号分析。其关键因子是 $(x-1)^3$,当 $x\rightarrow 1^+$ 时,其为正,并代入整个式子分析符号,有$\frac{(-)}{(+)(+)}=(-)$;当 $x\rightarrow 1^-$ 时,其为负,分析式子的符号,有$\frac{(-)}{(+)(-)}=(+)$。因此,这个极限不存在,但是存在左极限和右极限:
例题4:求解极限
不能直接带入 $x=5$,考虑进行分子有理化,即分子分母共同乘上 $\sqrt{x^2-9}-4$ 的共轭表达式,有
1.4 求解 $x\rightarrow \infty$ 时多项式的极限问题
对于一个有理函数的极限
令 $p_L(x)$ 为函数 $p(x)$ 的最高次项,我们有
事实上,对于任意的 $n>0$,$C$ 为常数,有
例题5:求解极限
我们找到分子的首项 $-8x^4$,分母的首项 $7x^4$,有
一般地,考虑极限
其中 $p,q$ 为多项式,我们有:
- 如果 $p$ 的次数等于 $q$ 的次数,则极限是有限的且非零;
- 如果 $p$ 的次数大于 $q$ 的次数,则极限是 $\infty$ 或 $-\infty$;
- 如果 $p$ 的次数等于 $q$ 的次数,则极限是 $0$。
1.5 求解 $x\rightarrow -\infty$ 时多项式的极限问题
求解 $x\rightarrow -\infty$ 时的极限,答题思路和上面相仿,特殊地,需要考虑被开方数的正负性。
例题6:求解极限
可以找到分母的首项 $2x^3$,分子的首项 $\sqrt{4x^6}$,特别注意 $x<0$ 时,$\sqrt{4x^6}=-2x^3$。有
二、求解微分问题
2.1 幂函数的导数
事实上,当 $a$ 是任意实数时,
特殊地,如果 $C$ 是常数,那么 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(C)=0$。
如果 $a=1$,有 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)=1$。
例子 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^\frac{1}{3})=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$。
2.2 求导法则
下面内容默认 $f’(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导数,$a$ 为任意实数。
2.2.1 函数的常数倍
若 $k$ 为任意实数,$f(x)=kx^a$,其导数为
2.2.2 函数的和与差
若 $f(x)=g(x)\pm h(x)$,其导数为
2.2.3 乘积法则
乘积法则 若 $h(x)=f(x)g(x)$,则其导数为
用微分的形式表示,若 $y=uv$,则
乘积法则可推广。若 $y=uvw$,则
2.2.4 商法则
商法则 若函数 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$,则其导数为
用微分的形式表示,若 $y=\dfrac uv$,则
2.2.5 链式求导法则
链式求导法则 若函数 $h(x)=f(g(x))$,则其导数为
用微分的形式表示,若 $y$ 是 $u$ 的函数,$u$ 是 $x$ 的函数,则
链式求导法则可以推广,若 $y$ 是 $u$ 的函数,$u$ 是 $v$ 的函数,$v$ 是 $x$ 的函数,则