微积分学习笔记 - 04 指数、对数、双曲函数的导数与极限

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六、指数函数与对数函数的导数

本节通过对自然常数 \(\mathrm{e}\) 的探究推出指数与对数函数的导数。请务必在阅读本节前了解指数与对数的基本运算性质。

6.1 \(\mathrm{e}\) 的定义与相关极限

\(\mathrm{e}\) 的定义 对于极限，定义 \[ \mathrm{e}=\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac1h} \] 关于它的求解与证明暂时略去。通过上述极限可以推出许多性质。

考虑极限 \[ L=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac rn)^n \] 令 \(h=\dfrac rn\)，这样 \(n=\dfrac rh\)，对上述极限变形，有 \[ L=\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac rh}=\lim\limits_{h\to 0^+}((1+h)^{\frac 1h})^r=\mathrm{e}^r \] 注意此时变成了 \(h\to 0^+\) 处的极限。这样，就有重要极限 \[ \boxed{\lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac xn)^n=\mathrm{e}^x}\tag{1} \] 特殊地，当 \(x=1\) 时，有 \[ \boxed{\lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac 1n)^n=\mathrm{e}} \] 对于极限 \((1)\)，令 \(h=\dfrac 1n\)，有 \[ \lim\limits_{h\to 0^+}(1+rh)^{\frac 1h}=\mathrm{e}^r \] 注意极限位置。得出另一个重要极限 \[ \boxed{\lim\limits_{h\to 0^+}(1+xh)^{\frac 1h}=\mathrm{e}^x} \] 特殊地，当 \(x=1\) 时，有 \[ \boxed{\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac 1h}=\mathrm{e}} \]

6.2 对数函数与指数函数的导数

使用导数的定义，令 \(f(x)=\log_bx\)，则有 \[ \begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\log_b(x+h)-\log _bx}h\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac 1h\log_b(\dfrac{x+h}x)\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\log_b(1+\dfrac hx)^{\frac 1h} \end{aligned} \] 上一节中，我们证明了 \[ \lim\limits_{h\to 0^+}(1+rh)^{\frac 1h}=\mathrm{e}^r \] 不妨令 \(r=\dfrac 1x\)，则有 \[ \begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{h\to 0}\log_b(1+\dfrac hx)^{\frac 1h}=\log_b(\mathrm{e}^\frac1x)\\ &=\dfrac{\ln \mathrm{e}^\frac 1x}{\ln b}\\ &=\dfrac 1{x\ln b} \end{aligned} \] 这就证明了对数函数的导数为 \[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_bx=\dfrac 1{x\ln b}} \] 特殊地，自然对数的导数为 \[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\dfrac 1x} \] 接下来推导指数函数的导数。对于指数函数 \(y=a^x\)，等价于 \(x=\log_ay\)。现在关于 \(y\) 求导，有： \[ \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac1{x\ln a} \] 根据链式求导法则，\(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=1\)，可以上下颠倒得到： \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y\ln a=a^x\ln a \] 这就证明了指数函数的导数为 \[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x=a^x\ln a} \] 特殊地，以自然常数为底数的指数，导数为 \[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^x} \] 这是一个独特的公式。发现它的导数还是它自己。

6.3 伸缩函数的导数

这里的伸缩函数，定义为：对于函数 \(y=f(x)\)，则其伸缩函数为 \(y'=f(ax)\)，其中，\(a\) 为常数。

对伸缩函数求导，即 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(ax)\)，根据链式求导法则，令 \(u=ax\)，则 \(y=f(u)\)，有 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=af'(u)=af'(ax) \] 可以发现，伸缩函数的导数与原本函数的导数相比，前面多了 \(a\) 的常数。

这个规律对指数对数函数、三角函数同样适用，例如，\(y=\mathrm{e}^{-3x}\)，则其导数为 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-3\mathrm{e}^{-3x}\)。

6.4 取对数求导法

对于类似 \(y=f(x)^{g(x)}\) 一类指数与底数均为 \(x\) 的函数的导数问题，通常使用取对数求导法，具体地：

对等号两边取自然对数，使指数移下来成为系数得到类似 \(\ln y=g(x)\ln f(x)\) 的式子；
对等号两边进行隐函数求导，有 \(\dfrac 1y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)\ln f(x)\)；
对等式化简，完成求解。

例子求解导数 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{\sin(x)}\)。

令 \(y=x^{\sin(x)}\)，对等式两边取对数得到 \(\ln y=\sin(x)\ln x\)，对隐函数求导有 \[ \dfrac 1y \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cos(x)\ln x+\dfrac {\sin(x)}x \] 化简得到 \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}x^{\sin(x)}=(\cos(x)\ln x+\dfrac {\sin(x)}x)x^{\sin(x)} \]

七、指数函数与对数函数的极限

本节将借助指数函数与对数函数的导数，求解二者在特殊位置的极限与变化率。将其变化率与其他初等函数比较，会有重要的性质。

7.1 涉及 \(\mathrm e\) 的极限

涉及 \(\mathrm e\) 的极限，通常借助重要结论求解： \[ \lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac 1h}=\mathrm{e}\tag{2} \]

例子求解极限 \(\lim\limits_{h\to 0}(1+h^2)^{\frac1{3h^2}}\)。

容易发现，这个式子形式很像 \((2)\) 式，不妨就通过这个突破点思考。令 \(x=h^2\)，则原极限等价于 \[ \lim\limits_{x\to 0}(1+x^2)^{\frac 1{x}\cdot \frac 13}=\mathrm e ^{\frac 13} \] 便可求解。

7.2 指数函数的行为

下面是指数函数 \(y=\mathrm e^x\) 的图像。

根据指数函数图像，不难发现指数函数 \(y=a^x(a>1)\) 有两个重要极限 \[ \lim\limits_{x\to \infty}a^x=\infty\quad,\quad \lim\limits_{x\to -\infty}a^x=0 \] 当 \(0<a<1\) 是有相反的性质 \[ \lim\limits_{x\to \infty}a^x=0\quad,\quad \lim\limits_{x\to -\infty}a^x=\infty \] 指数函数增长迅速：对于任意多项式函数 \(f(x)\)，都有 \(\boxed{\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{\mathrm e^x}=0}\)。

下面分析指数函数在 \(0\) 附近的行为。

根据函数过定点，显然有 \(\lim\limits_{x\to 0}\mathrm e^x=1\)。

设 \(f(x)=\mathrm e^x\)，其导数为 \(\mathrm e^x\)，在 \(x=0\) 时为 \(1\)。换一种方式分析，根据导数定义有： \[ \begin{aligned} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\mathrm e^{x+h}+\mathrm e^x}h=\mathrm e^x \end{aligned} \] 在 \(x\to 0\) 时有 \[ \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\mathrm e^h-1}h=1 \]

7.3 对数函数的行为

下面是对数函数 \(y=\ln x\) 的图像。

根据指数函数图像，不难发现指数函数 \(y=\log _ax(a>1)\) 有两个重要极限 \[ \lim\limits_{x\to 0^+}\log_ax=-\infty\quad,\quad \lim\limits_{x\to \infty}\log_ax=\infty \] 当 \(0<a<1\) 是有相反的性质 \[ \lim\limits_{x\to 0^+}a^x=\infty\quad,\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\log_ax=-\infty \] 对数函数增长缓慢：对于任意多项式函数 \(f(x)\)，都有 \(\boxed{\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln x}{f(x)}=0}\)

对于极限 \(\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x\)，令 \(t=\dfrac 1x\)，则有： \[ \lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=\lim\limits_{t\to \infty}\dfrac 1t\ln \dfrac 1t=\lim\limits_{t\to \infty}\dfrac{-\ln t}t=0 \] 得到结论，对数函数在 \(0\) 附近增长缓慢：\(\forall a>0,\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}x^a\ln x=0}\)。

八、双曲函数的导数

下面探究一下双曲函数。双曲函数与三角函数有比较相似的性质。

8.1 双曲正弦函数与双曲余弦函数

下面给出定义：

双曲正弦函数：\(\sinh(x)=\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2\)；
双曲余弦函数：\(\cosh(x)=\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2\)。

会发现，\(\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=\dfrac{\mathrm e^{2x}+\mathrm e^{-2x}+2}4-\dfrac{\mathrm e^{2x}+\mathrm e^{-2x}2}4=1\)，得出与三角函数很像的结论： \[ \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \] 接下来对两式求导： \[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2)=\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2=\cosh(x) \]

\[ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2)=\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2=\sinh(x) \]

发现二者互为导数，即： \[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh(x)=\cosh(x)}\quad,\quad \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh(x)=\sinh(x)} \] 下面是两函数的图像。

8.2 其他双曲函数

借助双曲正弦与双曲余弦函数的定义，推出下面四种双曲函数的定义与导数：

双曲正切函数：\(\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}\)；
双曲余切函数：\(\coth(x)=\dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}=\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}\)；
双曲正割函数：\(\text{sech}(x)=\dfrac1{\cosh(x)}=\dfrac2{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}\)；
双曲余割函数：\(\text{csch}(x)=\dfrac1{\sinh(x)}=\dfrac2{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}\)。

从 \(\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\) 可以推出： \[ 1-\tanh^2(x)=\text{sech}^2(x) \] 与双曲正弦与双曲正切函数类似，它们的导数为： \[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh(x)=\text{sech}^2(x)}\quad,\quad \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\coth(x)=-\text{csch}^2(x)} \]

\[ \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{sech}(x)=-\text{sech}(x)\tanh(x)}\quad,\quad \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{csch}(x)=-\text{csch}(x)\coth(x)} \]

下面是这四个函数的图像。