微积分学习笔记 - 04 指数、对数、双曲函数的导数与极限

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六、指数函数与对数函数的导数

本节通过对自然常数 $\mathrm{e}$ 的探究推出指数与对数函数的导数。请务必在阅读本节前了解指数与对数的基本运算性质。

6.1 $\mathrm{e}$ 的定义与相关极限

$\mathrm{e}$ 的定义 对于极限，定义

$\mathrm{e}=\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac1h}$

关于它的求解与证明暂时略去。通过上述极限可以推出许多性质。

考虑极限

$L=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac rn)^n$

令 $h=\dfrac rn$，这样 $n=\dfrac rh$，对上述极限变形，有

$L=\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac rh}=\lim\limits_{h\to 0^+}((1+h)^{\frac 1h})^r=\mathrm{e}^r$

注意此时变成了 $h\to 0^+$ 处的极限。这样，就有重要极限

$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac xn)^n=\mathrm{e}^x}\tag{1}$

特殊地，当 $x=1$ 时，有

$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}(1+\dfrac 1n)^n=\mathrm{e}}$

对于极限 $(1)$，令 $h=\dfrac 1n$，有

$\lim\limits_{h\to 0^+}(1+rh)^{\frac 1h}=\mathrm{e}^r$

注意极限位置。得出另一个重要极限

$\boxed{\lim\limits_{h\to 0^+}(1+xh)^{\frac 1h}=\mathrm{e}^x}$

特殊地，当 $x=1$ 时，有

$\boxed{\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac 1h}=\mathrm{e}}$

6.2 对数函数与指数函数的导数

使用导数的定义，令 $f(x)=\log_bx$，则有

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\log_b(x+h)-\log _bx}h\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac 1h\log_b(\dfrac{x+h}x)\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\log_b(1+\dfrac hx)^{\frac 1h} \end{aligned}$

上一节中，我们证明了

$\lim\limits_{h\to 0^+}(1+rh)^{\frac 1h}=\mathrm{e}^r$

不妨令 $r=\dfrac 1x$，则有

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{h\to 0}\log_b(1+\dfrac hx)^{\frac 1h}=\log_b(\mathrm{e}^\frac1x)\\ &=\dfrac{\ln \mathrm{e}^\frac 1x}{\ln b}\\ &=\dfrac 1{x\ln b} \end{aligned}$

这就证明了对数函数的导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_bx=\dfrac 1{x\ln b}}$

特殊地，自然对数的导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\dfrac 1x}$

接下来推导指数函数的导数。对于指数函数 $y=a^x$，等价于 $x=\log_ay$。现在关于 $y$ 求导，有：

$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac1{x\ln a}$

根据链式求导法则，$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=1$，可以上下颠倒得到：

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y\ln a=a^x\ln a$

这就证明了指数函数的导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x=a^x\ln a}$

特殊地，以自然常数为底数的指数，导数为

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^x}$

这是一个独特的公式。发现它的导数还是它自己。

6.3 伸缩函数的导数

这里的伸缩函数，定义为：对于函数 $y=f(x)$，则其伸缩函数为 $y’=f(ax)$，其中，$a$ 为常数。

对伸缩函数求导，即 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(ax)$，根据链式求导法则，令 $u=ax$，则 $y=f(u)$，有

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=af'(u)=af'(ax)$

可以发现，伸缩函数的导数与原本函数的导数相比，前面多了 $a$ 的常数。

这个规律对指数对数函数、三角函数同样适用，例如，$y=\mathrm{e}^{-3x}$，则其导数为 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-3\mathrm{e}^{-3x}$。

6.4 取对数求导法

对于类似 $y=f(x)^{g(x)}$ 一类指数与底数均为 $x$ 的函数的导数问题，通常使用取对数求导法，具体地：

对等号两边取自然对数，使指数移下来成为系数得到类似 $\ln y=g(x)\ln f(x)$ 的式子；
对等号两边进行隐函数求导，有 $\dfrac 1y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)\ln f(x)$；
对等式化简，完成求解。

例子求解导数 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{\sin(x)}$。

令 $y=x^{\sin(x)}$，对等式两边取对数得到 $\ln y=\sin(x)\ln x$，对隐函数求导有

$\dfrac 1y \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cos(x)\ln x+\dfrac {\sin(x)}x$

化简得到

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}x^{\sin(x)}=(\cos(x)\ln x+\dfrac {\sin(x)}x)x^{\sin(x)}$

七、指数函数与对数函数的极限

本节将借助指数函数与对数函数的导数，求解二者在特殊位置的极限与变化率。将其变化率与其他初等函数比较，会有重要的性质。

7.1 涉及 $\mathrm e$ 的极限

涉及 $\mathrm e$ 的极限，通常借助重要结论求解：

$\lim\limits_{h\to 0^+}(1+h)^{\frac 1h}=\mathrm{e}\tag{2}$

例子求解极限 $\lim\limits_{h\to 0}(1+h^2)^{\frac1{3h^2}}$。

容易发现，这个式子形式很像 $(2)$ 式，不妨就通过这个突破点思考。令 $x=h^2$，则原极限等价于

$\lim\limits_{x\to 0}(1+x^2)^{\frac 1{x}\cdot \frac 13}=\mathrm e ^{\frac 13}$

便可求解。

7.2 指数函数的行为

下面是指数函数 $y=\mathrm e^x$ 的图像。

根据指数函数图像，不难发现指数函数 $y=a^x(a>1)$ 有两个重要极限

$\lim\limits_{x\to \infty}a^x=\infty\quad,\quad \lim\limits_{x\to -\infty}a^x=0$

当 $0<a<1$ 是有相反的性质

$\lim\limits_{x\to \infty}a^x=0\quad,\quad \lim\limits_{x\to -\infty}a^x=\infty$

指数函数增长迅速：对于任意多项式函数 $f(x)$，都有 $\boxed{\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{\mathrm e^x}=0}$。

下面分析指数函数在 $0$ 附近的行为。

根据函数过定点，显然有 $\lim\limits_{x\to 0}\mathrm e^x=1$。

设 $f(x)=\mathrm e^x$，其导数为 $\mathrm e^x$，在 $x=0$ 时为 $1$。换一种方式分析，根据导数定义有：

$\begin{aligned} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\mathrm e^{x+h}+\mathrm e^x}h=\mathrm e^x \end{aligned}$

在 $x\to 0$ 时有

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\mathrm e^h-1}h=1$

7.3 对数函数的行为

下面是对数函数 $y=\ln x$ 的图像。

根据指数函数图像，不难发现指数函数 $y=\log _ax(a>1)$ 有两个重要极限

$\lim\limits_{x\to 0^+}\log_ax=-\infty\quad,\quad \lim\limits_{x\to \infty}\log_ax=\infty$

当 $0<a<1$ 是有相反的性质

$\lim\limits_{x\to 0^+}a^x=\infty\quad,\quad \lim\limits_{x\to -\infty}\log_ax=-\infty$

对数函数增长缓慢：对于任意多项式函数 $f(x)$，都有 $\boxed{\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln x}{f(x)}=0}$

对于极限 $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x$，令 $t=\dfrac 1x$，则有：

$\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=\lim\limits_{t\to \infty}\dfrac 1t\ln \dfrac 1t=\lim\limits_{t\to \infty}\dfrac{-\ln t}t=0$

得到结论，对数函数在 $0$ 附近增长缓慢：$\forall a>0,\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}x^a\ln x=0}$。

八、双曲函数的导数

下面探究一下双曲函数。双曲函数与三角函数有比较相似的性质。

8.1 双曲正弦函数与双曲余弦函数

下面给出定义：

双曲正弦函数：$\sinh(x)=\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2$；
双曲余弦函数：$\cosh(x)=\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2$。

会发现，$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=\dfrac{\mathrm e^{2x}+\mathrm e^{-2x}+2}4-\dfrac{\mathrm e^{2x}+\mathrm e^{-2x}2}4=1$，得出与三角函数很像的结论：

$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$

接下来对两式求导：

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2)=\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2=\cosh(x)$ $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2)=\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2=\sinh(x)$

发现二者互为导数，即：

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh(x)=\cosh(x)}\quad,\quad \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh(x)=\sinh(x)}$

下面是两函数的图像。

8.2 其他双曲函数

借助双曲正弦与双曲余弦函数的定义，推出下面四种双曲函数的定义与导数：

双曲正切函数：$\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}$；
双曲余切函数：$\coth(x)=\dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}=\dfrac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}$；
双曲正割函数：$\text{sech}(x)=\dfrac1{\cosh(x)}=\dfrac2{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}$；
双曲余割函数：$\text{csch}(x)=\dfrac1{\sinh(x)}=\dfrac2{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}$。

从 $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$ 可以推出：

$1-\tanh^2(x)=\text{sech}^2(x)$

与双曲正弦与双曲正切函数类似，它们的导数为：

$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh(x)=\text{sech}^2(x)}\quad,\quad \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\coth(x)=-\text{csch}^2(x)}$ $\boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{sech}(x)=-\text{sech}(x)\tanh(x)}\quad,\quad \boxed{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{csch}(x)=-\text{csch}(x)\coth(x)}$

下面是这四个函数的图像。