微积分学习笔记 - 05 三角恒等变换

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九、三角恒等变换

本节作为数学基础，为后面章节做铺垫且与微积分暂时无关。三角公式只涉及三个三角函数 \(\sin,\cos,\tan\)，剩余三个三角函数 \(\cot,\sec,\csc\) 的公式可自行扩展，因不常用而略去。

本节公式大多为高一内容，稍作补充完善。基本公式不作证明，拓展内容部分有公式证明。

9.1 和角公式

下面给出三角函数的和角公式。

和角公式 给定两角 \(A,B\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin(A+B)&=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\\ \cos(A+B)&=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\\ \tan(A+B)&=\dfrac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)} \end{aligned} \]

9.2 差角公式

下面给出三角函数的差角公式。

差角公式 给定两角 \(A,B\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin(A-B)&=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)\\ \cos(A-B)&=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)\\ \tan(A-B)&=\dfrac{\tan(A)-\tan(B)}{1+\tan(A)\tan(B)} \end{aligned} \]

9.3 倍角公式

下面给出三角函数的倍角公式。

倍角公式 给定角 \(A\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin(2A)&=2\sin(A)\cos(A) \\ \cos(2A)&=\cos^2(A)-\sin^2(A)=2\cos^2(A)-1=1-2\sin^2(A) \\ \tan(2A)&=\dfrac{2\tan(A)}{1-\tan^2(A)} \end{aligned} \] 上述公式可直接由和角公式推得。

9.4 降幂公式

下面给出三角函数的降幂公式。

降幂公式 给定角 \(A\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin(A)\cos(A)&=\dfrac12\sin(2A)\\ \sin^2(A)&=\dfrac{1-\cos(2A)}{2} \\ \cos^2(A)&=\dfrac{1+\cos(2A)}{2} \end{aligned} \] 降幂公式由正弦函数和余弦函数的倍角公式推得。

9.5 辅助角公式

下面给出三角函数的辅助角公式。

辅助角公式 给定角 \(\alpha\)，实数 \(a,b\) 为常数，则有： \[ a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi) \] 其中，\(\tan\varphi=\dfrac b a\)。

证明将原式进行如下变形： \[ \begin{aligned} a\sin\alpha+b\cos\alpha&=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\alpha \cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\cos\alpha\cdot\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}) \\ &=\sqrt{a^2+b^2}(\sin \alpha \cdot \cos \varphi+\cos\alpha\cdot \sin\varphi) \\ &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi) \end{aligned} \] 其中 \(\varphi\) 满足 \(\tan\varphi=\dfrac b a,\varphi\in[-\pi,\pi)\)。

证毕。

9.6 万能公式

下面给出三角函数万能公式，~~很遗憾没有找到更加文雅一点的名字~~。

万能公式 给定角 \(\alpha\)，记 \(t=\tan \dfrac{\alpha}2\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin\alpha &=\dfrac{2t}{1+t^2}\\ \cos\alpha &=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan\alpha &=\dfrac{2t}{1-t^2} \end{aligned} \]

证明令 \(t=\tan \dfrac \alpha 2\)，则根据二倍角公式有 \[ \tan \alpha = \dfrac{2\tan \dfrac \alpha 2}{1-\tan ^2 \dfrac \alpha 2}=\dfrac {2t}{1-t^2} \] 根据三角函数几何意义，令一点坐标为 \((1-t^2,2t)\)，则该点到原点的距离 \(r=1+t^2\)，显然有 \[ \sin \alpha =\dfrac{2t}{1+t^2}\quad ,\quad \cos \alpha =\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \] 证毕。

9.7 和差化积公式

下面给出三角函数的和差化积公式。

和差化积公式 给定角 \(\alpha\) 与 \(\beta\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin\alpha +\sin\beta&=2\sin\dfrac{\alpha +\beta} 2\cos \dfrac{\alpha -\beta} 2 \\ \sin\alpha -\sin\beta&=2\cos\dfrac{\alpha +\beta} 2\sin \dfrac{\alpha -\beta} 2 \\ \cos\alpha +\cos\beta&=2\cos\dfrac{\alpha +\beta} 2\cos \dfrac{\alpha -\beta} 2 \\ \cos\alpha -\cos\beta&=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta} 2\sin \dfrac{\alpha -\beta} 2 \end{aligned} \] 上面四个公式可以由倍角公式推得，证明不再赘述。

9.8 积化和差公式

下面给出三角函数的积化和差公式。

积化和差公式 给定角 \(\alpha\) 与 \(\beta\)，则有： \[ \begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\dfrac 1 2[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos\alpha\sin\beta&=\dfrac 1 2[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos\alpha\cos\beta&=\dfrac 1 2[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin\alpha\cos\beta&=-\dfrac 1 2[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \\ \end{aligned} \] 上面四个公式可以由和角公式与差角公式推得，证明不再赘述。