三角恒等变换
微积分学习笔记 - 05 三角恒等变换
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九、三角恒等变换
本节作为数学基础,为后面章节做铺垫且与微积分暂时无关。三角公式只涉及三个三角函数 $\sin,\cos,\tan$,剩余三个三角函数 $\cot,\sec,\csc$ 的公式可自行扩展,因不常用而略去。
本节公式大多为高一内容,稍作补充完善。基本公式不作证明,拓展内容部分有公式证明。
9.1 和角公式
下面给出三角函数的和角公式。
和角公式 给定两角 $A,B$,则有:
9.2 差角公式
下面给出三角函数的差角公式。
差角公式 给定两角 $A,B$,则有:
9.3 倍角公式
下面给出三角函数的倍角公式。
倍角公式 给定角 $A$,则有:
上述公式可直接由和角公式推得。
9.4 降幂公式
下面给出三角函数的降幂公式。
降幂公式 给定角 $A$,则有:
降幂公式由正弦函数和余弦函数的倍角公式推得。
9.5 辅助角公式
下面给出三角函数的辅助角公式。
辅助角公式 给定角 $\alpha$,实数 $a,b$ 为常数,则有:
其中,$\tan\varphi=\dfrac b a$。
证明 将原式进行如下变形:
其中 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi=\dfrac b a,\varphi\in[-\pi,\pi)$。
证毕。
9.6 万能公式
下面给出三角函数万能公式,很遗憾没有找到更加文雅一点的名字。
万能公式 给定角 $\alpha$,记 $t=\tan \dfrac{\alpha}2$,则有:
证明 令 $t=\tan \dfrac \alpha 2$,则根据二倍角公式有
根据三角函数几何意义,令一点坐标为 $(1-t^2,2t)$,则该点到原点的距离 $r=1+t^2$,显然有
证毕。
9.7 和差化积公式
下面给出三角函数的和差化积公式。
和差化积公式 给定角 $\alpha$ 与 $\beta$,则有:
上面四个公式可以由倍角公式推得,证明不再赘述。
9.8 积化和差公式
下面给出三角函数的积化和差公式。
积化和差公式 给定角 $\alpha$ 与 $\beta$,则有:
上面四个公式可以由和角公式与差角公式推得,证明不再赘述。