微积分学习笔记 - 05 三角恒等变换

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九、三角恒等变换

本节作为数学基础,为后面章节做铺垫且与微积分暂时无关。三角公式只涉及三个三角函数 $\sin,\cos,\tan$,剩余三个三角函数 $\cot,\sec,\csc$ 的公式可自行扩展,因不常用而略去。

本节公式大多为高一内容,稍作补充完善。基本公式不作证明,拓展内容部分有公式证明。

9.1   和角公式

下面给出三角函数的和角公式。

和角公式   给定两角 $A,B$,则有:

9.2   差角公式

下面给出三角函数的差角公式。

差角公式   给定两角 $A,B$,则有:

9.3   倍角公式

下面给出三角函数的倍角公式。

倍角公式   给定角 $A$,则有:

上述公式可直接由和角公式推得。

9.4   降幂公式

下面给出三角函数的降幂公式。

降幂公式   给定角 $A$,则有:

降幂公式由正弦函数和余弦函数的倍角公式推得。

9.5   辅助角公式

下面给出三角函数的辅助角公式。

辅助角公式   给定角 $\alpha$,实数 $a,b$ 为常数,则有:

其中,$\tan\varphi=\dfrac b a$。

证明   将原式进行如下变形:

其中 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi=\dfrac b a,\varphi\in[-\pi,\pi)$。

证毕。

9.6   万能公式

下面给出三角函数万能公式,很遗憾没有找到更加文雅一点的名字

万能公式   给定角 $\alpha$,记 $t=\tan \dfrac{\alpha}2$,则有:

证明   令 $t=\tan \dfrac \alpha 2$,则根据二倍角公式有

根据三角函数几何意义,令一点坐标为 $(1-t^2,2t)$,则该点到原点的距离 $r=1+t^2$,显然有

证毕

9.7   和差化积公式

下面给出三角函数的和差化积公式。

和差化积公式   给定角 $\alpha$ 与 $\beta$,则有:

上面四个公式可以由倍角公式推得,证明不再赘述。

9.8   积化和差公式

下面给出三角函数的积化和差公式。

积化和差公式   给定角 $\alpha$ 与 $\beta$,则有:

上面四个公式可以由和角公式与差角公式推得,证明不再赘述。