积分及其基本定理

微积分学习笔记 - 08 积分及其基本定理

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十三、定积分与不定积分

13.1   定积分的定义及性质

对于函数 $f(x)$ 和区间 $[a,b]$，定义定积分

$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\mathrm{mesh}\to 0}\sum\limits_{j=1}^n f(c_j)(x_j-x_{j-1})$$

其中 $a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$ 并且对于每一个 $j=1,\cdots,n$ 都有 $c_j$ 在 $[x_{j-1},x_j]$ 内。

对于和式 $\sum\limits_{j=1}^n f(c_j)(x_j-x_{j-1})$ 称之为黎曼和。

几何意义：函数图像在区间 $[a,b]$ 内与 $x$ 轴、$x=a$、$x=b$ 围成的区域的有向面积。

性质一

$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$$

性质二

$$\int _a^a f(x)\mathrm{d}x=0$$

性质三

$$\int _a^b f(x)\mathrm{d}x=\int _a^c f(x)\mathrm{d}x+\int _c^b f(x)\mathrm{d}x$$

性质四

$$\int _a^b Cf(x)\mathrm{d}x=C\int _a^b f(x)\mathrm{d}x$$

性质五

$$\int _a^b(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\int _a^bf(x)\mathrm{d}x+\int _a^b g(x)\mathrm{d}x$$

推论   在函数 $f$ 和 $g$ 之间的面积为 $\int _a^b |f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$。

13.2   不定积分的定义及性质

称 $F(x)$ 为函数 $f(x)$ 的原函数，则 $\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F(x)=f(x)$。

使用不定积分

$$\int f(x)\mathrm{d}x$$

表示函数 $f(x)$ 的原函数的集合。

性质一

$$\int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$$

性质二

$$\int Cf(x)\mathrm{d}x=C\int f(x)\mathrm{d}x$$

13.3   估算定积分

定理   如果对于在去建 $[a,b]$ 内的所有 $x$ 都有 $f(x)\le g(x)$，那么就有

$$\int _a^b f(x)\mathrm{d}x\le \int_a^b g(x)\mathrm{d}x$$

定理   如果对于在 $[a,b]$ 区间内的所有 $x$ 有 $m\le f(x)\le M$，那么

$$m(b-a)\le \int _a^b f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)$$

13.4   积分的平均值和中值定理

函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 内的平均值为

$$\dfrac 1 {b-a}\int _a^b f(x)\mathrm{d}x$$

积分中值定理   如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $\exist c\in (a,b)$，满足

$$f(c)=\dfrac 1 {b-a} \int _a^b f(x)\mathrm{d}x$$

十四、微积分基本定理

14.1   微积分第一基本定理

对于一类形如 $F(x)=\int _a^x f(t)\mathrm{d}t$ 的函数 $F$，称其为积分上限函数。

微积分第一基本定理   如果函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，定义 $F$ 为

$$F(x)=\int _a^x f(t)\mathrm{d}t \, , \, x\in [a,b]$$

则 $F$ 在区间 $(a,b)$ 是可导函数，并且

$$F'(x)=f(x)$$

简而言之，可以总结为

$$\boxed{\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int _a^x f(t)\mathrm{d}t=f(x)}$$

14.2   微积分第二基本定理

牛顿 - 莱布尼茨公式   如果函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 的任意一个原函数，那么

$$\int _a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

通常，我们写作

$$\left.\int _a^b f(x)\mathrm{d}x=F(x)\right| _a^b$$

14.3   积分公式

$$\begin{aligned} &\int x^a \mathrm{d}x=\dfrac {x^{a+1}}{a+1}+C \, , \, a\not=-1 \\ &\int \dfrac 1 x \mathrm{d} x=\ln |x| +C \\ &\int \mathrm{e}^x \mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\int b^x\mathrm{d}x=\dfrac {b^x}{\ln b}+C \\ &\int \cos x \mathrm{d}x =\sin x+C \\ &\int \sin x \mathrm{d}x =-\cos x+C \\ &\int \sec^2 x \mathrm{d}x=\tan x+C \\ &\int \sec x \tan x \mathrm{d}x=\sec x +C \\ &\int \csc^2 x \mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \csc x\cot x \mathrm{d}x=-\csc x +C \\ &\int \dfrac 1 {\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x +C \\ &\int \dfrac 1 {1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C \\ &\int \dfrac 1 {|x|\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\arcsec x +C \\ &\int \cosh x \mathrm{d}x=\sinh x +C \\ &\int \sinh x \mathrm{d}x=\cosh x +C \\ &\int \dfrac {f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln |f(x)|+C\\ &\int \dfrac 1 {x^2+a^2}\mathrm{d}x=\dfrac 1 a \arctan \dfrac x a +C \end{aligned}$$