积分及其基本定理
微积分学习笔记 - 08 积分及其基本定理
进入 传送门，阅读刊载在专栏《微积分学习笔记》下的全部文章。
十三、定积分与不定积分13.1 定积分的定义及性质对于函数 $f(x)$ 和区间 $[a,b]$，定义定积分
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\mathrm{mesh}\to 0}\sum\limits_{j=1}^n f(c_j)(x_j-x_{j-1})其中 $a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$ 并且对于每一个 $j=1,\cdots,n$ 都有 $c_j$ 在 $[x_{j-1},x_j]$ 内。
对于和式 $\sum\limits_{j=1}^n f(c_j)(x_j-x_{j-1})$ 称之为黎曼和。
几何意义：函数图像在区间 $[a,b]$ 内与 $x$ 轴、$x=a$、$x=b$ 围成的区域的有向面积。
性质一
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x性质二
\int _a^a f(x)\m ...
洛必达法则及其应用
微积分学习笔记 - 07 洛必达法则及其应用
进入 传送门，阅读刊载在专栏《微积分学习笔记》下的全部文章。
十二、洛必达法则当函数极限呈现以下形式时，称为不定型极限：
$\frac{0}{0}$ 型：$\lim\limits_{x \to a} f(x)=0$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x)=0$
$\frac{\infty}{\infty}$ 型：$\lim\limits_{x \to a} f(x)=\infty$ 且 $\lim\limits_{x \to a} g(x)=\infty$
其他形式：$0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ 等（需转化为前两种形式处理）
12.1 洛必达法则洛必达法则 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：
在 $x=a$ 的某去心邻域内可导（$a$ 可为有限数或 $\pm\infty$）；
$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to a} ...
在 WSL 中安装 Linux 子系统
注意：本文方法须在 win10 或 win11 环境下运行，其他环境可能无配置。
一、安装 Linux 子系统Step 1.依次输入如下命令
12wsl --updatewsl --set-default-version 2
对于第一个命令，如果速度较慢，可以更换为
1wsl --update --web-download
随后重新启动电脑。
Step 2.输入如下命令
1wsl -l -o
可以看到如下反馈即为正常
123456789101112131415161718以下是可安装的有效分发的列表。使用 'wsl.exe --install <Distro>' 安装。NAME FRIENDLY NAMEUbuntu UbuntuDebian Debian GNU/Linuxkali-linux Kali Linux RollingUbuntu-18.04 ...
微分中值定理与线性化
微积分学习笔记 - 06 微分中值定理与线性化
进入 传送门，阅读刊载在专栏《微积分学习笔记》下的全部文章。
十、微分中值定理微分中的中值定理主要有以下三个。
10.1 罗尔定理罗尔定理 对于函数 $f(x)$，若满足以下条件：
在 $[a,b]$ 内连续；
在 $(a,b)$ 内可导；
$f(a)=f(b)$。
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f’(\xi)=0$。
10.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 对于函数 $f(x)$，若满足以下条件：
在 $[a,b]$ 内连续；
在 $(a,b)$ 内可导。
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
10.3 柯西中值定理柯西中值定理 对于函数 $f(x)$ 和函数 $F(x)$，若均满足以下条件：
在 $[a,b]$ 内连续；
在 $(a,b)$ 内可导；
$\forall x\in (a,b),F’(x)\not=0$。
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
\d ...
斐波那契数列的重要性质
斐波那契数列的重要性质
对于斐波那契数列 $f$，有如下定义：
f_n=
\begin{cases}
0 & n=0 \\
1 & n=1 \\
f_{n-1}+f_{n-2} &n>1
\end{cases}其有如下重要性质。
性质一 对于 $\forall n\ge 1$，有
\boxed{f_{n-1}f_{n+1}-f_n^2=(-1)^n}证明 根据定义，有
\begin{aligned}
f_{n-1}f_{n+1}-f_n^2&=f_{n-1}(f_{n-1}f_n)-f_n^2 \\
&= f_{n-1}^2-f_n(f_{n-1}-f_n) \\
&=f_{n-1}^2-f_nf_{n-2} \\
&=f_{n-1}f_{n-3}-f_{n-2}^2 \\
&=\cdots \\
&=(-1)^{n-1}(f_0f_2-f_1^2) \\
&=(-1)^n
\end{aligned}证毕。
性质二 对于 $\forall n\ge 0,k\ge 1$，有
\boxed{f_{n+k}=f_{k-1}f ...
有上下界的网络流
有上下界的网络流
一、无源汇上下界网络可行流
无源汇上下界网络可行流 给定 $n$ 个点，$m$ 条边，每条边 $e$ 有一个流量下界 $l_e$ 和流量上界 $r_e$，求一种可行方案使得在所有点满足流量平衡条件的前提下，所有边满足流量限制。
这是一个判定。不同于一般的网络流，这个模型中没有源点与汇点，而且增加了每条边的流量限制 $[l_e,r_e]$，而一般的网络流只有最大流量限制，可以视为特殊的上下界网络流（$l_e=0$）。
首先考虑消除下界流量带来的影响。因为下界流量是必须流到的，不妨先强制流满下界流量。而这也带来了影响——这样操作之后每个点的初始含流量不再为 $0$，可以理解成，操作之后，每个节点多余若干流量或缺少若干流量，这是由于强制流满下界而未保证流量守恒导致的。
这样，记 $left_i$ 表示节点 $i$ 经过上述操作所剩余（用正表示） / 缺少（用负表示）的流量，并建立超级源点 $s$ 与超级汇点 $t$：
若 $left_i>0$，即该节点流满下界时剩余 $left_i$ 单位流量，应多补给 $left_i$ 单位流量才能保证流满边的 ...
多项式乘法与快速傅里叶变换(FFT)
多项式乘法与快速傅里叶变换(FFT)
一、前置知识本节介绍多项式前置知识、复数及单位根的相关内容。
1.1 多项式设 $A(x)$ 为一个 $n$ 次多项式，则可以表示为
A(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i其中，$a_i$ 为多项式第 $i$ 项的系数。
一个多项式在 $x_0$ 处的取值 $A(x_0)$ 为其在 $x_0$ 上的一个点值。
一个 $n$ 次多项式可以用 $n+1$ 个点值表示出来。由 $n+1$ 个对应位置上的点值能唯一表示一个多项式。
形式化地，一个多项式可以由 $n+1$ 个点 $(x_i,y_i)$ 唯一确定，其中，$y_i=\sum\limits_{j=0}^n a_jx_i^j$。
1.2 复数设 $a,b\in \mathbf R$，令 $i^2=-1$，称形如 $a+bi$ 的数为复数。其中，称 $a$ 为复数的实部，$b$ 为复数的虚部。$a=0$ 的数称为纯虚数。
在二维平面中，用横坐标表示实部，用纵坐标表示虚部，这样的平面为复平面。在复平面中，对于复数 $a+bi$，令其坐标为 $(a,b ...
三角恒等变换
微积分学习笔记 - 05 三角恒等变换
进入 传送门，阅读刊载在专栏《微积分学习笔记》下的全部文章。
九、三角恒等变换本节作为数学基础，为后面章节做铺垫且与微积分暂时无关。三角公式只涉及三个三角函数 $\sin,\cos,\tan$，剩余三个三角函数 $\cot,\sec,\csc$ 的公式可自行扩展，因不常用而略去。
本节公式大多为高一内容，稍作补充完善。基本公式不作证明，拓展内容部分有公式证明。
9.1 和角公式下面给出三角函数的和角公式。
和角公式 给定两角 $A,B$，则有：
\begin{aligned}
\sin(A+B)&=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)\\
\cos(A+B)&=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\\
\tan(A+B)&=\dfrac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}
\end{aligned}9.2 差角公式下面给出三角函数的差角公式。
差角公式 给定两角 $A,B$，则有：
\begin{align ...
二项式反演
组合数学学习笔记 02 二项式反演
进入分类索引，阅读该专题下的往期笔记。
二、二项式反演2.1 基本形式对于定义在域 $X$ 上的实值函数 $F(n)$ 与 $G(n)$，若由如下递推关系
G(n)=\sum\limits_{i=0}^n\binom n i F(i) \tag{1}得到 $G(n)$ 关于 $F(i)$ 的表达式，则可以通过如下的递推关系通过 $G(i)$ 反解 $F(n)$：
\boxed{F(n)=\sum\limits_{i=0}^n\binom n i (-1)^{n-i} G(i) \tag{2}}上述通过 $G$ 反解 $F$ 的过程称为二项式反演。
要证明二项式反演，下面引入两个二项式系数引理。
引理 1 $\dbinom n i\dbinom i k=\dbinom n k \dbinom {n-k} {i-k}$。
证明 考虑组合意义：在 $n$ 个元素中先取出 $i$ 个元素，再在 $i$ 个元素中取出 $k$ 个元素的方案数，显然等价于，在 $n$ 个元素中直接取出 $k$ 个元素 ...
二项式定理与二项式系数
组合数学学习笔记 01 二项式定理与二项式系数
进入分类索引，阅读该专题下的往期笔记。
本章节介绍二项式定理与相关推论定理，在组合数学中有重要作用。
一、二项式定理与二项式系数1.1 二项式定理定理 1（二项式定理） 设 $n$ 是正整数。对所有的 $x$ 和 $y$，有
(x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k\tag 1
证明 考虑把 $(x+y)^n$ 展开，结果有 $2^n$ 项，每一项都可以写成 $x^{n-k}y^k$ 的形式。对于每个形式，相当于在 $n$ 个因子中选择 $k$ 个选择 $x$，故其系数为 $\binom n k$。
1.2 组合相关推论如果对于二项式定理，取 $y=1$，则有如下特殊形式。
定理 2 设 $n$ 为正整数。对于所有的 $x$，有
(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom n k x^k\tag{2}证明略去。
定理 3 对于正整数 $n,k$，有
k\ ...